Stetige Verteilungen

Du sprichst von einer stetigen Verteilung, wenn die zugehörige Zufallsvariable alle reellen Werte innerhalb eines Intervalls annehmen kann; die Zufallsvariable ist dann stetig. Da jedes Intervall in unendlich viele Teile unterteilt werden kann, beträgt dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmter Wert auftritt, für alle Werte Null. Bei diskreten Verteilungen dagegen gibt es nur abzählbar viele Realisationen von X, zu denen positive Wahrscheinlichkeiten gehören.

Beschreibung mittels Dichtefunktion

An die Stelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion tritt daher bei stetigen Verteilungen die Dichtefunktion f(x), die ein Maß dafür ist, wie dicht sich mögliche Werte von X um den Wert x scharen; ihr Integral über ein beliebiges Intervall gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Realisation von X in diesem Integral liegt.

Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein beobachteter Wert kleiner oder gleich x ist; formal erhältst Du sie als Integral über die Dichtefunktion von bis x.

Ein Beispiel für eine stetige Zufallsvariable ist die Füllmenge von Joghurtbechern: eine Maschine, die die Becher befüllt, hat eine Vorgabemenge von 150 g Gramm eingestellt, die aber ganz exakt nicht realisiert werden kann. Stattdessen kannst Du à priori nicht bestimmbare Abweichungen nach oben oder unten innerhalb eines Intervalls beobachten.

Eine Stichprobe vom Umfang 20 ergibt beispielsweise die folgenden Messwerte und Abweichungen von der Sollfüllmenge:

Grafisch dargestellt hast Du also folgende Abweichungen beobachtet:

Um anhand Deiner Beobachtungen möglichst präzise statistische Aussagen über die Abweichungen der Grundgesamtheit treffen zu können, musst Du aus den stetigen Verteilungen die geeignete auswählen.

Übersicht über die stetigen Verteilungen

Verteilung	Eigenschaften
Gleichverteilung	Alle möglichen Realisationen der Zufallsvariablen besitzen die gleiche Dichte und die Verteilungsfunktion verläuft linear. Die Gleichverteilung verwendet man in der Marktforschung oft, wenn noch keine Informationen über die Präferenzen der Zielgruppe bekannt sind.
Normalverteilung	Die Normalverteilung stellt die am häufigsten verwendete Verteilung dar; ein symmetrischer glockenförmiger Verlauf der Dichtefunktion passt auf viele empirische Phänomene. Die Normalverteilung hat zwei Parameter und . Für große Stichproben lassen sich andere Verteilungen durch sie approximieren.
Lognormalverteilung	Die Lognormalverteilung ist die Normalverteilung der logarithmierten Werte der Zufallsvariablen und ist bei rechtsschiefen Verteilungen anzuwenden.
Laplace-Verteilung	Die Laplace-Verteilung ist eine symmetrische Verteilung mit spitzem Bereich in der Mitte der Dichtefunktion, sie wird wegen Ihres Aussehens auch doppelte Exponentialverteilung genannt.
Exponentialverteilung	Der exponentielle Verlauf der Dichtefunktion ist hier namensgebend. Die Exponentialverteilung verwendet man oft, um Aussagen über die Länge zufälliger Zeitintervalle zu treffen.
Weibull-Verteilung	Die Weibull-Verteilung ist mit Skalen- und Formparameter sehr flexibel einsetzbar, oft wird sie wie die Exponentialverteilung für Aussagen über die Länge zufälliger Zeitintervalle verwendet, wobei die Weibull-Verteilung Änderungen im Zeitablauf zu berücksichtigen vermag.
Gamma-Verteilung	Skalen- und Formparameter ermöglichen die Modellierung vieler verschiedener Dichte- und Verteilungsfunktionen und sehr vielseitige Einsatzmöglichkeiten der Gammaverteilung.
Betaverteilung	Die Beta-Verteilung ist eine Verteilung mit zwei Parametern, deren Auswahl sehr unterschiedliche Gestaltung von Dichte- und Verteilungsfunktion ermöglicht.