Laplace-Verteilung

Laplace-Verteilung

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Die Laplace-Verteilung ist eine stetige symmetrische Verteilung mit dem Lageparameter \mu und außerdem einem Skalenparameter b, der die Steilheit der Dichtefunktion angibt. Wie die linke Grafik zeigt, besitzt die Dichtefunktion im Bereich des Mittelwerts einen spitzen Verlauf und läuft zudem zu den Enden hin flach aus. Wegen ihres Aussehens wird die Laplace-Verteilung auch doppelte Exponentialverteilung genannt. Die rechte Grafik zeigt die entsprechenden Verteilungsfunktionen.

Laplace-Verteilung

Kennzahlen der Laplaceverteilung

Die Dichtefunktion der Laplaceverteilung ist durch

    \begin{equation*} f(x;\mu,b) = \frac 1 {2b} \begin{cases} exp(-\frac{\mu -x} b ), \nobreakspace falls \nobreakspace x < \mu \\ \\ exp(-\frac{x-\mu} b ), \nobreakspace falls \nobreakspace x \ge \mu \end{cases} \end{equation*}

gegeben, die zugehörige Verteilungsfunktion erhältst Du zudem durch Integration mit dem folgenden Ergebnis:

    \begin{equation*} F(x;\mu,b) = \begin{cases} \frac 1 2 \cdot exp(\frac{x-\mu} b ), \nobreakspace falls \nobreakspace x < \mu \\ \\ 1-\frac 1 2 \cdot exp(-\frac{x-\mu} b ), \nobreakspace falls \nobreakspace x \ge \mu \end{cases} \end{equation*}

Für \mu=0 und b=1 entspricht ihr aufsteigender Ast exakt der Exponentialverteilung.
Du erhältst Mittelwert und Varianz der Laplace-Verteilung wie folgt:

    \begin{equation*} E(X)= \mu \quad und \quad Var(X)=2\cdot b^2 \end{equation*}

Ein Beispiel für die Anwendung der Laplace-Verteilung sind logarithmierte Änderungsraten des Zinssatzes auf Staatsanleihen im Zeitverlauf. Die beobachtete Verteilung kann man in diesem Fall gut durch die Laplaceverteilung wiedergeben.