Diskrete Verteilung

Du hast eine diskrete Verteilung vorliegen, wenn sie auf eine endliche Menge von Ausprägungen der Zufallsvariablen oder abzählbar unendlichen Menge derselben definiert ist. Die Zufallsvariable selbst kannst Du dann als diskrete Zufallsvariable bezeichnen.

Stell Dir vor, Du würfelst mit zwei Würfeln und betrachtest die Würfelsumme aus zwei Würfen als Deine Zufallsvariable. Die kleinste mögliche Augensumme beträgt zwei, wenn beide Würfel die 1 zeigen; die größte mögliche Augensumme ist 12, wenn Du zweimal die 6 würfelst.

Da die Anzahl der möglichen Realisationen der natürlichen Zahlen von 2 bis 12 endlich ist, hast Du eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegen.

Beschreibung mittels 2 Funktionen

• die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine mögliche Ausprägung x auftritt, und
• die Verteilungsfunktion als kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion, die die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes kleiner oder gleich x angibt.

Für Dein Beispiel ergibt sich:

Augensumme x	Mögliche Kombinationen	Anzahl mögl. Kombinationen	Wahrscheinlichkeitsfunktion	Verteilungsfunktion
2	(1,1)	1	0,0278	0,0278
3	(1,2), (2,1)	2	0,0556	0,0833
4	(2,2), (1,3), (3,1)	3	0,0833	0,1667
5	(2,3), (3,2), (1,4),(4,1)	4	0,1111	0,2778
6	(3,3), (2,4), (4,2), (5,1), (1,5)	5	0,1389	0,4167
7	(4,3), (3,4), (5,2), (2,5), (1,6), (6,1)	6	0,1667	0,5833
8	(4,4), (5,3), (3,5), (2,6), (6,2)	5	0,1389	0,7222
9	(5,4), (4,5), (6,3), (3,6)	4	0,1111	0,8333
10	(5,5), (4,6), (6,4)	3	0,0833	0,9167
11	(5,6), (6,5)	2	0,0556	0,9722
12	(6,6)	1	0,0278	1,0000
	Summe	36	1

Charakterisierung diskreter Verteilungen

Die verschiedenen diskreten Verteilungen unterscheiden sich in ihren Voraussetzungen und Aussagen:

Name	Voraussetzungen	Aussage
Gleichverteilung	n-malige unabhängige Wiederholung eines Bernouilli-Experiments, bei dem alle k möglichen Ausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen	Wahrscheinlichkeit, mit der die j-te mögliche von k Ausprägungen realisiert wird, beträgt . Die Verteilungsfunktion existiert nur, wenn die Daten mindestens ordinalskaliert vorliegen.
Binomialverteilung	n-malige unabhängige Wiederholung eines Bernouilli-Experiments (Urnenmodell mit Zurücklegen).	Wahrscheinlichkeit, mit der bei n unabhängigen Wiederholungen k Erfolge realisiert werden.
Multinomialverteilung	n-malige unabhängige Wiederholung eines Experiments mit mehr als zwei möglichen Ausgängen (Urnenmodell mit Zurücklegen).	Wahrscheinlichkeit, mit der bei n unabhängigen Wiederholungen k mal ein bestimmter Ausgang realisiert wird
Poissonverteilung	n-malige unabhängige Wiederholung eines Bernouilli-Experiments bei sehr kleinem p, anzuwenden bei punktuellen Ereignissen im Zeitablauf.	Wahrscheinlichkeit, mit der bei sehr kleinem p genau k Erfolge realisiert werden.
Geometrische Verteilung	n-malige unabhängige Wiederholung eines Bernouilli-Experiments: Sie gibt die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass Du 1,2,3,… Versuche bis zum Eintritt des gewünschten Ereignisses benötigst.	Wahrscheinlichkeit, mit der 1, 2, 3, … Versuche bis zum Erfolg benötigt werden
Hypergeometrische Verteilung	n-malige abhängige Wiederholung eines Bernouilli-Experiments (Urnenmodell ohne Zurücklegen).	Wahrscheinlichkeit, mit der bei n abhängigen Wiederholungen k Erfolge realisiert werden.