Stetige Gleichverteilung / Rechteckverteilung

Stetige Gleichverteilung / Rechteckverteilung

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Die stetige Gleichverteilung beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariable, wenn innerhalb eines Intervalls alle Realisationen die gleiche Dichte aufweisen. Sie wird auch als Rechteckverteilung oder uniforme Verteilung bezeichnet und mit dem Buchstaben U für uniform abgekürzt.

Stell Dir vor, Du möchtest eine Ausstellung besichtigen und erhältst am Empfang die Information, dass alle dreißig Minuten eine Führung startet. Falls Du nicht weißt, wann die vorherige Führung begonnen hat, besitzen alle Wartezeiten zwischen 0 und dreißig Minuten die gleiche Wahrscheinlichkeit. Deine Zufallsvariable ist die Zeit in Minuten, die bis zum Start der nächsten Führung vergeht; sie ist stetig gleichverteilt im Intervall [0;30].

Charakterisierung der stetigen Gleichverteilung

Betrachtest Du allgemein das Intervall [a;b], so hast Du die Dichtefunktion als

    \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac 1 {b-a}, \nobreakspace f\"ur \nobreakspace a \le x \le b \\ \\ 0 \nobreakspace sonst \end{equation*}

und die Verteilungsfunktion als:

    \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} \quad 0, \nobreakspace f\"ur \nobreakspace x < a \\ \\\frac {x-a} {b-a}, \nobreakspace\nobreakspace\nobreakspace f\"ur \nobreakspace a \le x \le b \\ \\ \quad 1, \nobreakspace sonst \end{equation*}

gegeben.

Für Dein Beispiel erhältst Du im Intervall [0;30] die folgenden Werte:

    \begin{equation*} f(x) = \frac 1 {30} \quad und \quad F(x) = \frac x {30}, \quad f\"ur \nobreakspace a \le x \le b \end{equation*}

Die beiden Grafiken visualisieren Dichte- und Verteilungsfunktion:

Gleichverteilung

Erwartungswert und Varianz der Gleichverteilung sind außerdem

    \begin{equation*} \mu = E(X) = \frac {a+b} 2 \quad und \quad \sigma^2=Var(X)=\frac 1 {12} (b-a)^2 \end{equation*}

Für Dein Beispiel bedeutet das also: Du musst im Mittel \mu=15 Minuten warten, bis die Führung beginnt, bei einer Varianz von \sigma^2 = 75.

Für diskrete Zufallsvariablen gibt es übrigens eine diskrete Variante der Gleichverteilung.