Erwartungstreue

Erwartungstreue

  • 16. November 2016
  • Posted by: Mika
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Du möchtest Deine Stichprobe nutzen, um die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen. Dafür ist die Eigenschaft der Erwartungstreue ein wichtiges Kriterium bei der Auswahl geeigneter Schätzfunktionen. Sie besagt, dass der theoretische Erwartungswert der Schätzfunktion mit dem Erwartungswert der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit übereinstimmen sollte.

Beispielberechnung Erwartungstreue

Stell Dir vor beispielsweise vor, Du arbeitest für ein Pharmaunternehmen, das ein Medikament „Schmerzade“ mit einer angegebenen Wirkstoffmenge von 10 mg anbietet. Weiterhin stellt dieses täglich 500.000 Dragees her. Deren tatsächliche jeweilige Wirkstoffmenge kannst Du als Realisation einer Zufallsvariablen X mit unbekanntem Mittelwert \mu und unbekannter Varianz \sigma^2 betrachten. Denn neben der korrekten Einstellung der Maschinen wirken auch immer Zufallseinflüsse.

Berechnung von Mittelwert und Stichprobenvarianz

Für die Kontrolle der Wirkstoffmenge entnimmst Du täglich eine Stichprobe vom Umfang n=200 und berechnest aus dieser Stichprobe wie gewohnt den Mittelwert und die Stichprobenvarianz.

    \begin{equation*} \bar x =\frac {1} {n}\sum_{i=1}^n x_i = 9,95 \quad und \quad s_x^2 = \frac {1} {n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 = 0,0024 \end{equation*}

Theoretischer Erwartungswert

Die Elemente der Stichprobe sind eine Teilmenge der Grundgesamtheit. Dementsprechend sind sie natürlich Realisationen der Zufallsvariablen X mit gleichem unbekannten Mittelwert \mu und gleicher unbekannter Varianz \sigma^2 der Grundgesamtheit. Also sind die für die Berechnung der Stichprobenparameter verwendeten Schätzfunktionen \bar X und S_X^2 als Funktionen von X auch wieder Zufallsvariablen. Sie wären somit geeignete Schätzfunktionen für \mu und \sigma^2 in der Grundgesamtheit, falls ihr theoretischer Erwartungswert mit \mu und \sigma^2 übereinstimmte.
Das kannst Du dadurch überprüfen, dass Du die Daten in die folgende Formel einsetzt: Mit

    \begin{equation*} E(X) =\frac {1} {n}\sum_{i=1}^n E(X) = \frac 1 n \cdot n \cdot \mu_ \end{equation*}

stellt der Mittelwert der Stichprobe eine erwartungstreue Schätzfunktion für den Mittelwert der Grundgesamtheit dar. Damit kannst Du Deinen berechneten Stichprobenmittelwert als erwartungstreue Parameterschätzung für das unbekannte \mu der Grundgesamtheit nehmen:

    \begin{equation*} \hat \mu = 9,95 \end{equation*}

Theoretische Varianz

Bei der Varianz sieht das anders aus:

    \begin{equation*} E(S_X^2) &= \frac {1} {n} \sum_{i=1}^n E[(X_i - \bar X)^2]= \frac {1} {n} \sum_{i=1}^n E[(X_i - \mu + \mu - \bar X)^2] \end{equation*}

    \begin{equation*} &= {\frac {1} {n}} [ \sum_{i=1}^n E(X_i - \mu)^2 - n \cdot E(\bar X - \mu)^2 ] \end{equation*}

    \begin{equation*} &= Var(X) - Var(\bar X) = \sigma^2 - \frac { \sigma^2} n = \frac {n-1} n \cdot \sigma^2 \end{equation*}

Der theoretisch erwartete Wert für die Stichprobenvarianz ist also um die Varianz des Stichprobenmittelwertes kleiner als die Varianz der Grundgesamtheit.
Um dies zu korrigieren, kannst Du aber den Schätzwert sehr einfach mit Hilfe des Bessel´schen Korrekturfaktors \frac n {n-1} modifizieren und erhältst einen erwartungstreuen Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit:

    \begin{equation*} S^2 = \frac {1} {n-1} \cdot \sum_{i=1}^n E[(X_i - \bar X)^2]\end{equation*}

Für Dein Beispiel wäre demnach der korrigierte und erwartungstreue Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit aus der Stichprobe

    \begin{equation*} s^2 = \frac {200} {199} \cdot s_x^2 = 0,002412 \end{equation*}

etwas größer als die der Stichprobe s_x^2 = 0,0024.
Zusammenfassen lässt sich sagen, dass je kleiner Du Deine Stichprobe wählst, umso größer ist die Varianz des Stichprobenmittelwertes und umso deutlicher wirkt sich der Bessel´sche Korrekturfaktor aus.
Zudem nähert sich eine erwartungstreue Schätzfunktion im Mittel an die exakte Schätzung des Parameters an.

Abschließend nennt man eine Schätzfunktion, die keine systematischen Abweichungen aufweist, auch unverzerrt oder unbiased.