Generalisierte Momentenmethode (GMM)

Generalisierte Momentenmethode (GMM)

  • 16. November 2016
  • Posted by: Mika
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Die generalisierte Momentenmethode ist eine Verallgemeinerung der einfachen Momentenmethode. Letztere ist eins der ältesten Verfahren zur Schätzung von Parametern der Grundgesamtheit und sehr einfach durchzuführen, weist aber den Nachteil auf, dass einige ihrer Schätzfunktionen nicht erwartungstreu sind.
Die Momentenmethode schätzt die Parameter einer Verteilung, indem sie die theoretischen Momente (m_k) und empirischen Momente (\hat m_k) der Verteilung gleichsetzt. Dabei sind die theoretischen Momente Funktionen der unbekannten Parameter der Grundgesamtheit und die empirischen aus der Stichprobe direkt zu berechnen.

    \begin{equation*} m_k=E(X_i^k) \quad und \quad \hat m_k = \frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^n x_i^k \end{equation*}

Einfache Momentenmethode: Beispielrechnung

Bei der einfachen Momentenmethode gehen so viele Momente in die Schätzfunktionen ein, wie Parameter zu schätzen sind. Dadurch ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung die Schätzungen für die wahren Parameter der Grundgesamtheit nach der Momentenmethode liefert, falls sie eindeutig ist.
Um beispielsweise die beiden Parameter einer Normalverteilung zu schätzen, werden die ersten beiden Momente m_1 und m_2 benötigt und es gilt:

    \begin{equation*} m_1 = \hat m_1 : \quad \hat \mu = \frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i \end{equation*}

und

    \begin{equation*} m_2 = \hat m_2 :\quad \hat \sigma^2 + \hat \mu^2= \frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i^2, \quad also \quad \hat \sigma^2 = \frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \end{equation*}

Generalisierte Momentenmethode: Beispielrechnung

Die generalisierte Momentenmethode verallgemeinert den Ansatz der einfachen Momentenmethode, indem sie zulässt, dass die Anzahl n der für die Schätzung verwendeten Momente größer sein kann als die Anzahl m der zu schätzenden Parameter.

Du legst zunächst fest, wie viele n Momente grundsätzlich für die Schätzung der m Parameter zugrundegelegt werden sollen. Jeder Parameter wird durch eine Funktion der Momente (m_1 bis m_n) geschätzt. Mit n > m ist das Gleichungssystem überbestimmt und kann nicht eindeutig gelöst werden.
Als Beispiel kannst Du die Schätzfunktionen von \mu und \sigma^2 als Funktionen der ersten drei Momente m_1 bis m_3 betrachten:

    \begin{equation*} \hat \mu = f(m_1, m_2,m_3) \quad und \quad \hat \sigma^2 = g(m_1,m_2,m_3) \end{equation*}

Mit diesem System hast du keine eindeutige Lösung gegeben, denn das Gleichungssystem ist überbestimmt. Du wählst nun die Schätzfunktionen für die unbekannten Parameter so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen empirischen und theoretischen Momenten minimiert wird.
Mithilfe von numerischen Optimierungsverfahren erhältst Du als Lösung die generalisierten Momentenschätzer.

Die generalisierte Momentenmethode schließt eine Reihe anderer Schätzmethoden als Spezialfälle ein, so auch den IV-Estimator und die Maximum-Likelihood-Methode.