Kontingenzkoeffizient nach Pearson

Kontingenzkoeffizient nach Pearson

  • 30. Oktober 2017
  • Posted by: Mika
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Der Kontingenzkoeffizient nach Pearson ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beliebigen Skalenniveaus, wobei für die Art des Zusammenhangs keine Annahmen getroffen werden.

Stell Dir zum Beispiel vor Du arbeitest für eine Kaffeekette und möchtest den Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Auswahl des Heißgetränks messen. Dazu notierst Du bei n=100 Kunden jeweils das Geschlecht und Ihre Bestellung und erstellst aus den Häufigkeiten n_{ij} die folgende Kreuztabelle:

Heißgetränk
Geschlecht		 Filterkaffee Cappuccino Latte Machiato Summe
n_{ij} n_{1j} n_{2j} n_{3j} n_{\cdot j}
Frauen n_{i1} 11 23 9 43
Männer n_{i2} 3 25 19 57
Summe n_{i \cdot } 14 48 28 100

Diesen beobachteten Häufigkeiten n_{ij} stellst Du die zu erwartenden Häufigkeiten \hat n_{ij} gegenüber, die beobachtet würden, falls kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und der Getränkewahl besteht: wenn die beiden Merkmale unabhängig voneinander sind, kannst Du die Einzelhäufigkeiten als Produkt der Randhäufigkeiten, dividiert durch die Anzahl n berechnen:

    \begin{equation*} \hat n_{ij} = \frac {n_{i \cdot} \cdot n_{ \cdot j}} n \end{equation*}

Aufstellen einer Unabhängigkeitstabelle

Heißgetränk
Geschlecht		 Filterkaffee Cappuccino Latte Machiato Summe
\hat n_{ij} \hat n_{1j} \hat n_{2j} \hat n_{3j} \hat n_{cdot j}
Frauen \hat n_{i1} 6,02 20,64 12,04 43
Männer \hat n_{i2} 7,98 27,36 15,96 57
Summe \hat n_{i \cdot } 14 48 28 100

Falls kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Getränkewahl besteht, dürftest Du kaum Abweichungen zwischen den beobachteten n_{ij} und den erwarteten \hat n_{ij} feststellen; je größer die Abweichungen sind, umso stärker ist der Zusammenhang zwischen beiden.

Die Grafik stellt die beobachteten und erwarteten Häufigkeiten gegenüber:

Kontingenzkoeffizient

Berechnung des Kontingenzkoeffizienten

Als Maß für den Zusammenhang kannst Du zuerst den \chi^2– oder Kontingenzkoeffizienten als Summe der quadrierten Differenzen, jeweils zur Normierung dividiert durch die erwarteten Häufigkeiten, berechnen:

    \begin{equation*} \chi^2 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac { (n_{ij} -{\hat n_{ij})^2}} {\hat n_{ij}} \end{equation*}

Für Dein Beispiel erhältst Du \chi^2 = 9,0475.

Je kleiner der Koeffizient ausfällt, umso geringer ist der Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen und umgekehrt. Da er jedoch abhängig von der Anzahl der Merkmalsausprägungen und der Beobachtungen ist, ist sein absoluter Wert wenig aussagekräftig und schlecht zum Vergleich geeignet. Deshalb schlug Pearson einen normierten Kontingenzkoeffizienten vor.

Normierter Kontingenzkoeffizient

    \begin{equation*} C = \sqrt { \frac {\chi^2} { \chi^2 + n} }, \quad mit \quad n = \sum_i \sum_j n_{ij} \end{equation*}

Du erhältst:

    \begin{equation*} C = \sqrt { \frac {9,0475 } {9,0475 + 100 }} = 0,2880 \end{equation*}

Der Koeffizient C nimmt Werte zwischen Null und Eins an. Daher kann man ihn als normierten \chi^2-Koeffizienten interpretieren. Sein Wert bleibt aber definitionsgemäß auch im Fall eines sehr starken Zusammenhangs immer kleiner als Eins; der maximale Wert von C ist durch die kleinere Anzahl der Merkmalsausprägungen bestimmt, wobei m und k für die Anzahl der beiden Merkmalsausprägungen steht:

    \begin{equation*} C_{max} = \sqrt { \frac {c-1} {c} }, \quad mit \quad c = min(m,k) \end{equation*}

Für Dein Beispiel ergibt sich:

    \begin{equation*} C_{max} = \sqrt { \frac {1} {2}} = 0,7071 \end{equation*}

Korrigierter Kontingenzkoeffizient

Dividierst Du anschließend den Koeffizienten C durch C_{max}, so erhältst Du einen korrigierten Kontingenzkoeffizienten, der theoretisch alle Werte im Intervall zwischen Null und Eins annehmen kann, wie für Zusammenhangmaße üblich.

    \begin{equation*} C_{korr} = \frac C {C_{max}} = \sqrt { \frac {c} {c-1 }} \cdot \sqrt {\frac {\chi^2 } { n + \chi^2} } = \frac {0,2880 } { 0,7071} = 0,4074 \end{equation*}

Der korrigierte Kontingenzkoeffizient zwischen dem Geschlecht und der Getränkewahl in Deinem Beispiel beträgt also mit 0,4074 etwa 40 Prozent.