Empirische Kovarianz

Hast Du Beobachtungswerte zweier metrischer Merkmale erhoben und vermutest einen linearen Zusammenhang zwischen beiden, so ist die empirische Kovarianz auf jeden Fall eine wichtige Maßzahlen für dessen Richtung und Stärke.

Definition der empirischen Kovarianz

Sie ist als durchschnittliches Produkt der Abweichungen beider Merkmale von ihrem Mittelwert definiert, wie im Folgenden als Formel dargestellt.

   

Angenommen, Du hast von 12 Haushalten das monatliche Nettohaushaltseinkommen x und die monatliche Kaltmiete y erhoben und möchtest wissen, wie groß der Zusammenhang zwischen Mietausgaben und dem Einkommen ist.

In den ersten drei Spalten der nachfolgenden Tabelle sind Deine erhobenen Zahlen dokumentiert. Dabei ist x das Haushaltseinkommen in Euro und y die Mietausgaben in Euro. Die weiteren Spalten geben demnach die Abweichung des Einkommens vom Mittel, die Abweichung der Mietausgaben vom Mittel sowie das Produkt der Abweichungen an.

lfd. Nr.
i	x	y
1	2.300	750	-920,83	-268,33	247.090,28
2	3.500	1.200	279,17	181,67	50.715,28
3	7.500	1.450	4.279,17	431,67	1.847.173,61
4	1.800	590	-1.420,83	-428,33	608.590,28
5	1.500	670	-1.720,83	-348,33	599.423,61
6	650	220	-2.570,83	-798,33	2.052.381,94
7	3.200	850	-20,83	-168,33	3.506,94
8	2.500	990	-720,83	-28,33	20.423,61
9	3.450	1.200	229,17	181,67	41.631,94
10	5.200	2.400	1.979,17	1.381,67	2.734.548,61
11	6.300	1.600	3.079,17	581,67	1.791.048,61
12	750	300	-2.470,83	-718,33	1.774.881,94
Mittelwert	3.220,83	1.018,33	–	–	980.951,39

Die Grafik stellt den Ausgaben für die Kaltmiete das monatliche Haushaltseinkommen gegenüber und es zeigt sich ein positiver Zusammenhang zwischen beiden:

In den Spalten vier und fünf der Tabelle sind die Abweichungen der beobachteten Werte von ihrem Mittelwert berechnet, die sechste Spalte enthält die Produkte der Abweichungen.

Die letzte Zeile der Tabelle enthält die jeweiligen Spaltenmittelwerte; in der letzten Spalte erhältst Du die Kovarianz zwischen x und y mit cov(x,y) = 980.951,39.

Interpretation

Ihr positiver Wert besagt, dass hier ein positiver Zusammenhang zwischen x und y besteht. Genau das zeigte auch schon die Grafik. Je höher das Nettoeinkommen eines Haushalts ist, umso höher sind seine Ausgaben für Miete und umgekehrt. Der absolute Zahlenwert ist schwer zu interpretieren, da er stark abhängig von der absoluten Größenordnung der Zahlen ist.

Aussagekräftiger und besser für Vergleiche geeignet ist der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson. Denn dieser standardisiert die Kovarianz, indem er durch das Produkt der Standardabweichungen von x und y dividiert.