Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
Keine Kommentare


Zentraler Grenzwertsatz – was ist das eigentlich? Nach diesem konvergieren Summe und Mittelwert von n unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen X_1, …X_n mit zunehmendem n gegen die Normalverteilung, unabhängig davon, welcher Verteilung die X_i folgen.

Viele Verfahren der Schätz- und Testtheorie setzen die Normalverteilung voraus, die oft für die Zufallsvariable selbst nicht gegeben ist. Aufgrund der Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes kannst Du diese Verfahren aber trotzdem zum Schätzen und Testen ihrer Parameter einsetzen, falls Du eine ausreichend große Anzahl n von Realisationen gegeben hast.

Der Zentrale Grenzwertsatz für die praktische Anwendung der Statistik also von großer Bedeutung. Wie groß dabei n sein muss, um als „ausreichend groß“ zu gelten, damit der Satz gilt, lässt sich nicht fest vorgeben; vorsichtige Statistiker wählen als Grenze n=100, viele sehen aber bereits n=30 als ausreichenden Umfang an.

Zentraler Grenzwertsatz: mathematische Formulierung

Formal hast Du n Zufallsvariablen X_1,..,X_n gegeben, die unabhängig voneinander sind, alle den gleichen Erwartungswert \mu und die gleiche Varianz \sigma^2 besitzen und einer beliebigen Verteilung folgen. Die Verteilung von deren Mittelwert konvergiert dann gegen die Normalverteilung, bzw. gegen die Standardnormalverteilung, falls Du durch Division der Differenz zwischen Mittelwert und seinem Erwartungswert durch seine Standardabweichung standardisierst:

    \begin{equation*} \lim\limits_{n \to \infty} \quad P\left(\frac {\bar X_n - \mu}{\sigma/{\sqrt n}} \le z\right) =F_{NV}(z)} \end{equation*}

Beispiel für die Anwendung

Eine Maschine füllt beispielsweise Sahnebecher ab, auf denen eine Füllmenge von \mu =200 ml aufgedruckt ist. Du kennst die Varianz der Füllmenge als \sigma^2=4. Eine Stichprobe vom Umfang n=120 ergibt eine durchschnittliche Füllmenge von \bar x = 199,5 ml. Anhand dieser Stichprobe sollst Du entscheiden, ob diese Abweichung zufällig bedingt sein kann oder ob die Maschine falsch eingestellt ist.

Mit n>100 und dank des Zentralen Grenzwertsatzes ist die Entscheidung recht einfach, denn Du kannst einen zweiseitigen Gaußtest etwa zum Niveau von 95\% durchführen:

    \begin{equation*} H_0: \mu = 200 \quad gegen \quad H_1: \mu \ne 200 \end{equation*}

Du vergleichst dazu Deinen standardisierten Stichprobenmittelwert z_{pr}

    \begin{equation*} z_{pr}=\frac {\bar x -\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac {199,5 - 200}{2/\sqrt{120}} =2,7386 \end{equation*}

mit dem kritischen Wert z_{kr} der Standardnormalverteilung

    \begin{equation*} z_{kr}=F_{NV} (0,975) = 1,96 \end{equation*}

und entscheidest: Mit

    \begin{equation*} 2,7386 = z_{pr} >z_{kr}=1,96 \end{equation*}

wird die Nullhypothese also verworfen. Die Maschine muss also neu justiert werden.

Ohne die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes hättest Du folglich ein verteilungsfreies und weniger trennscharfes Testverfahren anwenden müssen. Denn Je mehr und detailliertere Informationen Du allgemein über Dein Datenmaterial hast, umso differenzierter kannst Du testen und umso aussagekräftiger und trennschärfer sind die Ergebnisse Deiner Tests; bei zwei Tests mit gleichem Fehlerniveau 1. Art – zu dem Du ja Deine Tests ausführst – hat in der Regel der Test den größeren Fehler 2. Art und damit weniger Trennschärfe, der weniger Informationen über Dein Datenmaterial berücksichtigt.