Gesetz der großen Zahlen

Gesetz der großen Zahlen

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Ein Zufallsexperiment kann zu verschiedenen Ausgängen führen, zu denen jeweils feste aber in der Regel unbekannte theoretische Wahrscheinlichkeiten gehören. Führst Du das Experiment mehrmals hintereinander aus, so erhältst Du relative Häufigkeiten, mit denen die verschiedenen Ausgänge auftreten.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt nun, dass Deine beobachteten relativen Häufigkeiten \h_i=\frac {n_i}{n} sich mit zunehmender Anzahl n ausgeführter Experimente immer mehr an die theoretischen Wahrscheinlichkeiten p_i annähern. Dann konvergiert die durchschnittliche mittlere Abweichung zwischen den Zufallsvariablen X_i und ihrem Erwartungswert E(X_i) gegen Null.

Wie kann man das Gesetz der großen Zahlen formal aufschreiben?

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen lässt sich als arithmetisches Mittel der möglichen Ereignisse, multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeit darstellen:

    \begin{equation*} E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i \end{equation*}

Führst Du Dein Zufallsexperiment beispielsweise m mal durch und bezeichnest x_j als j-te Realisationen, so kannst Du die mittlere Abweichung zwischen den Realisationen von X und ihrem Mittelwert schreiben als:

    \begin{equation*} \frac 1 m \sum_{j=1}^m (x_j - E(X)) =\frac 1 m \sum_{j=1}^m x_j - \frac 1 m \cdot m \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i \end{equation*}

Setzt Du dann m_i als Anzahl, mit der Du die i-te Realisation von X beobachtest hast, und h_i=\frac {m_i}{m} als relative Häufigkeit von x_i, so erhältst Du

    \begin{equation*} \frac 1 m \sum_{j=1}^m x_j - \frac 1 m \cdot m \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i = \sum_{i=1}^n x_i \cdot h_i - \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i \quad \to 0, \quad wenn \quad h_i \to p_i \end{equation*}

Nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergieren die relativen Häufigkeiten h_i für große n gegen die Wahrscheinlichkeiten p_i; dann konvergiert die linke Summe gegen die rechte und ihre Differenz gegen Null.

Praktisches Beispiel

Das kannst Du mit einem symmetrischen Würfel ganz einfach ausprobieren. Jede Augenzahl von eins bis sechs besitzt die theoretische Wahrscheinlichkeit p_i=\frac 1 6, \nobreakspace f\``uer \nobreakspace i=1,..6. Du wirfst jetzt den Würfel und notierst bei jedem Wurf seine Augenzahl und erhältst zum Beispiel die folgenden Zahlen:

Würfe 1 bis 10 Würfe 11 bis 20 Würfe 1 bis 30
3 6 3 3 3 5 6 6 6 6 2 6 5 6 6 4 4 2 1 3 4 5 6 2 3 5 1 4 1 2

Bestimmung von Häufigkeiten

Dann kannst Du die absoluten und relativen Häufigkeiten bestimmen, mit denen jede Augenzahl nach 10, 20, 30 oder auch 100 Würfen aufgetreten ist. Du erhältst zum Beispiel:

10 Würfe
 20 Würfe
 30 Würfe
Augenzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Augenzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Augenzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
1 1 0,100 1 3 0,150 1 4 0,133
2 4 0,400 2 6 0,300 2 7 0,233
3 2 0,200 3 2 0,100 3 4 0,133
4 1 0,100 4 3 0,150 4 6 0,200
5 1 0,100 5 3 0,150 5 4 0,133
6 1 0,100 6 3 0,150 6 5 0,167
10 1,000 20 1,000 30 1,000
mittlere Abweichung S_{10}=0,0889 S_{20}=0,0444 S_{30}=0,0333

Nach zehn Würfen ist in diesem Beispiel die Augensumme 2 viermal aufgetreten, die drei zweimal und alle anderen Augensummen je einmal. Die relativen Häufigkeiten weichen bei den wenigen beobachteten Würfen stark von den theoretischen Wahrscheinlichkeit \frac 1 6 ab. Die mittlere Abweichung als Mittelwert der absoluten Abweichungen zwischen relativen Häufigkeiten und theoretischen Wahrscheinlichkeiten ist ein Maß hierfür.

    \begin{equation*} S_n=\frac 1 6 \cdot \sum_{i=1}^6 | (h_i - p_i)| \end{equation*}

Nach 10 Würfen erhältst Du also:

    \begin{equation*} S_{10}= \frac 1 6 *(|0,1-0,1667|+|0,4 -0,1667|+|0,2 -0,1667|+...+|0,1 -0,1667| )=0,0889 \end{equation*}

S_{10} beträgt 0,0889. Nach 20 bzw. 30 Würfen nähern sich die relativen Häufigkeiten langsam an die theoretischen Wahrscheinlichkeiten an und Deine mittlere Abweichungen S_{20}=0,0444 und S_{30}=0,0333 sinken folglich im Beispiel.

Anschauliche Interpretation

Diese Gesetzmäßigkeit lässt sich anschaulich dadurch erklären, dass der Einfluss von Ausreißern mit zunehmendem Umfang des Experiments abnimmt.

Das Gesetz der großen Zahlen findest Du in zwei Versionen: Im Falle der schwachen Formulierung konvergiert die Wahrscheinlichkeit, mit der die mittlere Abweichung S_n größer als ein beliebiges \epsilon >0 ist, für unendliche n gegen Null; nach der starken Formulierung konvergiert S_n dagegen fast sicher gegen Null.

Das Gesetz der großen Zahlen ist übrigens für viele praktische Anwendungen von großer Bedeutung. Der verfälschende Einfluss von Messfehlern und Zufall kann durch dieses Gesetz bei ausreichend großem Erhebungsumfang minimiert werden. Was als ausreichend großer Stichprobenumfang gilt, ist allerdings nicht eindeutig bestimmt; vorsichtige Statistiker wenden den Satz bei n>100 an, in vielen Untersuchungen unterstellt man ihn schon für n>30.

Versicherungen zum Beispiel können Schadenshäufigkeiten umso präziser vorhersagen und ihre Kosten danach kalkulieren, je größer die Anzahl der versicherten Personen, Häuser, Gefahrengüter etc. mit gleicher Schadenswahrscheinlichkeit ist.