Alphafehler (Fehler 1. Art), Signifikanzniveau

Alphafehler (Fehler 1. Art), Signifikanzniveau

  • 18. November 2016
  • Posted by: Mika
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Immer wenn Du Entscheidungen unter Unsicherheit triffst, kannst Du Fehler machen. Als Alphafehler oder Fehler 1. Art bezeichnet man den Fehler, den Du beim Durchführen eines statistischen Testes machst. Es geht dabei um das Verwerfen der Nullhypothese, obwohl sie in Wahrheit richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, einen Alphafehler zu machen, ist kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau \alpha Deines Tests.

Grundsätzlich gehst Du davon aus, dass Deine Stichprobenergebnisse Realisationen von Zufallsvariablen darstellen. Diese setzten sich aus den Parametern der Grundgesamtheit und aus Zufallseinflüssen zusammen. Mit diesen Stichprobenergebnissen führst Du Deinen Test durch. Dann vergleichst Du das Ergebnis der Stichprobe mit der angenommenen Verteilung der Grundgesamtheit und triffst Deine Entscheidung.

Was ist der Alphafehler?

Je mehr das Stichprobenergebnis im Zentrum der Verteilung liegt, desto eher spricht die Stichprobe für ein Nichtverwerfen der Hypothese H0. Je mehr es am äußeren Rand der Verteilung liegt, desto wahrscheinlicher ist es, dass H0 nicht zutrifft. Alpha bestimmt nun genau den kritischen Wert, an dem diese Entscheidung festgemacht wird.

Besonders einfach geht das, wenn die Verteilung der Grundgesamtheit bekannt ist oder die Stichprobe groß ist. Dann kannst Du nämlich aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes  die Normalverteilung annehmen. Die Konvention hierfür ist eine Stichprobengröße von 30, besser 100.

In der Grafik ist α am rechten Rand der Verteilung eingezeichnet. Liegt die Prüfgröße im kritischen blau schraffierten Bereich oberhalb von z_{1-\alpha}, so wird die Nullhypothese verworfen. Je kleiner Du \alpha wählst, umso geringer ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen.

kritischer-wert-2

Beispielrechnung

Angenommen, Du untersuchst das Lungenvolumen von Schülern. Du testest, ob dieses bei Schülern, die Leistungssport betreiben, erhöht ist. Dabei weißt Du, dass das durchschnittliche Lungenvolumen bei Schülern der Größe 170 cm bei 4 Litern liegt und eine Varianz von 4 aufweist. Jetzt erhebst Du eine Stichprobe vom Umfang 120, deren Mittelwert bei 4,35 Litern liegt.

  1. Zunächst formulierst Du das Gegenteil Deiner Vermutung als Hypothese, diese bezeichnet man als Nullhypothese H0, sowie die Alternativhypothese H1 und das Signifikanzniveau α.H0: Das Lungenvolumen von Leistungssport treibenden Schülern beträgt höchstens vier Liter.H1: Das Lungenvolumen von Leistungssport treibenden Schülern beträgt mehr als vier Liter.Das Signifikanzniveau α beträgt, wie sehr oft, 5%.
  2. Du ziehst Deine Stichprobe und wertest sie aus.
    Dein Stichprobenmittelwert ist, wie angegeben, \bar x = 4,35 l, die Standardabweichung des Mittelwerts ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz, dividiert durch n, d.h \sigma/\sqrt n=0,1825.
  3. Du vergleicht Deine Testgröße mit dem kritischen Wert und triffst die Testentscheidung.
    Hierfür standardisierst Du Deinen Mittelwert:

        \begin{equation*} z_{pr}=\frac{\bar x-\mu}{\sigma/\sqrt n}=\frac{4,35-4}{0,1825}=1,917 \end{equation*}

    und vergleichst ihn mit den hier kritischen Werten, die Du als die inverse Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zum Niveau 95% erhältst, auch 95%-Quantil genannt.

        \begin{equation*} z_{0,95}=F^{-1}(0,95)=1,645 \end{equation*}

    Liegt Deine Testgröße unterhalb des kritischen Wertes, so wird die Nullhypothese nicht verworfen; liegt sie oberhalb des oberen kritischen Wertes, so wird sie verworfen.
    Mit 2,19 > 1,645 wird die Nullhypothese hier verworfen und Du schließt mit einem Signifikanzniveau von 5%, dass das Lungenvolumen durch Leistungssport erhöht wird.

Die Wahl des tolerierten Alphafehlers

Je geringer Du das Signifikanzniveau α wählst, umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit für einen Alphafehler, die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen. Für unser Beispiel zeigt das folgende Tabelle:

Signifikanzniveau \alpha zkr zpr Entscheidung
5% = 0,05 1,645 1,917 H0 verworfen
1% = 0,01 1,96 1,917 H0 nicht verworfen

Durch die Reduzierung des Signifikanzniveaus auf 1% wird in Deinem Beispiel die Nullhypothese nicht verworfen und man schließt, Leistungssport habe keinen Einfluss auf das Lungenvolumen.

Wenn auch grundsätzlich die Reduzierung der Fehlerwahrscheinlichkeit α positiv zu bewerten ist, so solltest Du berücksichtigen, dass damit die Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit des Betafehlers \beta einhergeht, die Nullhypothese nicht zu verwerfen, obwohl sie falsch ist.