Quantil & Quartil

Quantil & Quartil

  • 8. September 2017
  • Posted by: Mika
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Weitere Lagemaße sind die Quantile und Quartile. Um diese zu bilden Ordnest Du die Beobachtungswerte Deiner mindestens ordinalskalierten Stichprobe der Größe nach an, so hast Du als p-Quantil denjenigen Wert gegeben, unterhalb dem p \cdot 100 \% der Beobachtungswerte liegen.

Eine nicht repräsentative Befragung von 20 Studenten nach ihrem verfügbaren Monatseinkommen ergab folgende der Größe nach geordneten Werte:

lfd. Nummer
i		 Einkommen
x_i		 lfd. Nummer
i		 Einkommen
x_i
1 390 € 11 710 €
2 475 € 12 715 €
3 610 € 13 725 €
4 650 € 14 736 €
5 670 € 15 750 €
6 670 € 16 750 €
7 680 € 17 775 €
8 690 € 18 800 €
9 699 € 19 850 €
10 705 € 20 1.500 €

Als p-Quantile der hier vorliegenden n=20 Beobachtungswerten bestimmst Du daraus die Einkommenswerte, bei denen p \cdot 100 \% unterhalb und (1 -p) \cdot 100 -\% oberhalb dieses Wertes liegen. Bei der Bestimmung des Quantils unterscheidest Du, ob das Produkt n \cdot p ganzzahlig ist oder nicht.

Berechnung des Quantils

Angenommen, Du möchtest den Wert bestimmen, der von 10 \% der Befragten unterschritten wird. Mit n \cdot p = 20 \cdot 0,1=2 ist das Produkt ganzzahlig.

Aus Deiner Erhebung weißt Du, dass 10 % der Befragten ein Einkommen kleiner oder gleich x_2 zur Verfügung haben. Du suchst aber den Wert, der von 10 % der Befragten unterschritten wird. Deshalb mittelst Du die Werte x_2 und x_3 und bestimmst Dein 0,1-Quantil \bar x_{0,1} als 0,5 \cdot (475+610)=542,5.

Suchst Du dagegen beispielsweise das 0,37-Quantil, so ist mit n \cdot p = 20 \cdot 0,37=7,4 ein nicht ganzzahliger Betrag gegeben. Springst Du von 7,4 zur nächstgrößeren ganzen Zahl, hier zur 8, so erhältst Du Dein 0,37-Quantil als x_8 = 690.

Allgemein erhältst Du Deine Quantile nach der Formel:

    \begin{equation*} x_{p} =\begin{cases} \frac 1 2 \cdot ( x_{n \cdot p}+x_{n \cdot p + 1}),\quad falls \quad n\cdot p \quad ganzzahlig\\ \quad \\ ( x_{ ganzahl (n \cdot p)+1} ),\quad falls \quad n\cdot p \quad nicht \quad ganzzahlig \end{cases}\end{equation*}

Die Funktion „ganzzahl“ in der unteren Zeile bedeutet, dass Du den ganzzahligen Anteil des Produktes verwendest. Im Fall des 0,37-Quantils hast Du mit ganzzahl(n \cdot p) = ganzzahl (7,4)=7 gegeben und mit

    \begin{equation*} x_{ ganzahl (n \cdot p)+1}=x_{ganzzahl(7,4)+1}=x_8 \end{cases}\end{equation*}

Für Dein Beispiel erhältst Du:

p n \cdot p ganzzahlig
j/n		 \bar x_p
0,1 2 j 0,5 \cdot (475+610)=542,5
0,25 5 j 0,5 \cdot (670+670)=670
0,37 7,4 n 690
0,5 10 j 0,5 \cdot (705+710)=542,5
0,75 15 j 0,5 \cdot (475+610)=707,5
0,94 18,8 n 850

Spezielle Quantile

  • der Median als 0,5-Quantil: Wert, unterhalb dem 50 \% der Beobachtungswerte liegen
  • das Quartil als 0,25-Quantil: Wert, unterhalb dem 25 \% der Beobachtungswerte liegen
  • das Terzil als 0,3333-Quantil: Wert, unterhalb dem 33,33\% der Beobachtungswerte liegen
  • das Quintil als 0,2-Quantil: Wert, unterhalb dem 20 \% der Beobachtungswerte liegen .

Ihre Berechnung erfolgt immer nach dem gleichen Schema.