Alphafehler-Kumulierung (Multiple Testing, Bonferroni-Korrektur)

Alphafehler-Kumulierung (Multiple Testing, Bonferroni-Korrektur)

  • 26. April 2018
  • Posted by: Mika
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Unter „Multiple Testing“ versteht man das Durchführen von n zusammenhängenden Hypothesentests an einem Datensatz. Stell Dir vor, Du möchtest das durchschnittliche Körpergewicht von Männern in Deutschland, in den Niederlanden und in Belgien vergleichen. Dazu hast Du drei Stichproben mit folgenden Mittelwerten erhoben:

Land Deutschland Niederlande Belgien
i 1 2 3
\bar x_i 88,8 kg 87,4 kg 87,8 kg
Grundgesamtheitsparameter \mu_1 \mu_2 \mu_2

Du könntest nun auf die Idee kommen, die Mittelwerte paarweise zu vergleichen und damit einen multiplen Test auf Dein Datenmaterial anzuwenden. Dann testest Du die folgenden Hypothesen:

    \begin{equation*} H^1_0: \mu_1=\mu_2 \quad gegen \quad H^1_1: \mu_1 \ne \mu_2 \end{equation*}

    \begin{equation*} H^2_0: \mu_1=\mu_3 \quad gegen \quad H^2_1: \mu_1 \ne \mu_3 \end{equation*}

und

    \begin{equation*} H^3_0: \mu_2=\mu_3 \quad gegen \quad H^3_1: \mu_2 \ne \mu_3 \end{equation*}

Alle Einzelhypothesen werden aber letztlich getestet, um die Globalhypothese, alle Mittelwerte seien gleich, zu prüfen.

    \begin{equation*} H_0: \mu_1 =\mu_2=\mu_3 \quad gegen \quad H_1: nicht \nobreakspace alle\nobreakspace \mu_i \nobreakspace sind \nobreakspace gleich \end{equation*}

Du verwirfst H_0 nicht, wenn alle H_0^i nicht verworfen werden.

Für jede Deiner Nullhypothesen H^i_0 wählst Du zunächst, wie für viele Tests üblich, das Signifikanzniveau \alpha_i=0,05 als Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie richtig ist (Fehler 1. Art). Die Wahrscheinlichkeit, beim i-ten Test keinen Fehler 1. Art zu begehen, beträgt dann (1-\alpha_i).

Die Wahrscheinlichkeit, bei der Globalhypothese keinen Fehler 1. Art zu begehen, berechnest Du dann bei k Einzeltests zum Niveau \alpha_i=0,05 als

P(kein Fehler 1. Art bei \displaystyle\bigcup_{i=1}^k H_i) = (1-\alpha_i)^k.

Für Dein Beispiel ist (1-\alpha_i)^k=(0,95)^3=0,8574

Man spricht hier von Alphafehler-Kumulierung: Indem Du für alle Einzeltests das übliche Signifikanzniveau von \alpha_i=0,05 gewählt hast, beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, in keinem Einzeltest einen Fehler 1. Art zu begehen, gerade (1-0,8574)=0,1426. Das aber ist der Alphafehler Deiner Globalhypothese.

Eine solche Irrtumswahrscheinlichkeit von 14,26\% gilt in der Regel als zu hoch.

Bonferroni schlug daher als Korrektur vor, die Irrtumswahrscheinlichkeit der Einzeltests so zu reduzieren, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art für die Gesamthypothese höchstens \alpha beträgt.

    \begin{equation*} (1-\alpha_i)^k=1-\alpha \quad \to \quad \alpha_i=1-(1-\alpha)^{\frac 1 k} \end{equation*}

Das erreichst Du, indem Du \alpha_i \le \frac {\alpha} k setzt.

Die Bonferroni-Korrektur ist eine gute Möglichkeit, den Fehler 1. Art bei multiplen Tests zu kontrollieren; sie berücksichtigt allerdings nicht, dass mit einem kleineren Fehler 1. Art bei den Tests der Einzelhypothesen und daraus resultierend auch bei der Globalhypothese ein Ansteigen des Fehlers 2. Art einhergeht, so dass die Güte Deines Tests sinkt. Als Güte eines Tests bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese zu verwerfen, wenn sie falsch ist.

Die Bonferroni-Holm-Prozedur als Weiterentwicklung versucht daher, die globalen Fehler 1. und 2. Art zu kontrollieren.