Quartilsabstand

Quartilsabstand

  • 7. September 2017
  • Posted by: Mika
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Das untere Quartil einer Verteilung gibt Dir den Wert an, unterhalb dem ein Viertel der Beobachtungswerte liegen, das obere Quartil dagegen den Wert, oberhalb dem die obersten 25 Prozent der Werte angesiedelt sind.

Den Abstand zwischen beiden bezeichnet man als Quartilsabstand. Du kannst ihn als mittleren Bereich der Verteilung ansehen, in dem 50 Prozent der Beobachtungen liegen.

Die monatliche Niederschlagmenge x_i in Frankfurt wurde für 2016 wie folgt gemessen:

Monat Jan Feb Mar Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
x_i 9,3 39,4 47,7 24,4 41,9 47,3 110,6 88,7 47,1 57 81,9 66,8

Zunächst ordnest Du die Beobachtungswerte der Größe nach an:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x_i 9,3 24,4 39,4 41,9 47,1 47,3 47,7 57 66,8 81,9 88,7 110,6

Wie berechnet man ein Quantil?

Du erhältst Deine Quartile durch Einsetzen von p=0,25 und p=0,75 in die allgemeine Formel der Quantilsberechnung:

    \begin{equation*} x_{p} =\begin{cases} \frac 1 2 \cdot ( x_{n \cdot p}+x_{n \cdot p + 1}),\quad falls \quad n\cdot p \quad ganzzahlig\\ \quad \\ ( x_{ ganzahl (n \cdot p)+1} ),\quad falls \quad n\cdot p \quad nicht \quad ganzzahlige \end{cases}\end{equation*}

Die Funktion „ganzzahl“ in der unteren Zeile bedeutet, dass Du den ganzzahligen Anteil des Produktes verwendest.

Bei der Überprüfung von n \cdot p ergibt sich für beide Fälle ein ganzzahliger Wert und Du erhältst als unteres bzw. oberes Quartil:

unteres Quartil 12 \cdot 0,25 = 3 x_{0,25} = \frac 1 2 (x_3 + x_4) = \frac 1 2 (39,4+41,9) = 40,65
oberes Quartil 12 \cdot 0,75 = 9 x_{0,75} = \frac 1 2 (x_9 + x_{10}) = \frac 1 2 (66,8+81,9) = 74,35

Den Quartilsabstand erhältst Du dann zu

    \begin{equation*} R = x_{0,75} - x_{0,25} = 74,35-40,65 = 33,7 \end{equation*}

Die Grafik zeigt es noch einmal genauer.

Quartilsabstand

Da der Quartilsabstand die äußeren Werte nicht berücksichtigt, ist er sehr unempfindlich gegenüber Ausreißern.