Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel

  • 8. September 2017
  • Posted by: Mika
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Geometrisches Mittel – was ist das eigentich? Als Lageparameter von quantitativen Beobachtungswerten, die multiplikativ miteinander verknüpft sind wie Wachstumsraten oder Zinsraten etc., solltest Du das geometrische Mittel als Lageparameter bestimmen.

Stell Dir vor, Deine Bank bietet Dir an, einen Betrag von 1000 € für drei Jahre fest anzulegen. Dafür sollst Du im ersten Jahr 1 Prozent, im zweiten Jahr 1,5 Prozent und im dritten Jahr 1,7 Prozent Zinsen bekommen. Du möchtest den mittleren Zinssatz bestimmen, um diese Anlagevariante mit anderen vergleichen zu können.

Dazu stellst Du folgende Überlegungen an, wobei sich die Zinsrate als Summe von 1 und dem Zinssatz ergibt:

Jahr
i		 Zinssatz
im
i-ten Jahres		 Zinsrate
im i-ten Jahr
x_i		 Aus 1000 € wird
am Ende des
i-ten Jahres
0 1.000,00 €
1 1,00 % 1,010 1.010,00 €
2 1,50 % 1,015 1.025,15 €
3 1,70 % 1,017 1.042,57 €

Am Ende des ersten Jahres hat sich der Wert Deiner Einlage um 1 Prozent erhöht: für die Berechnung multiplizierst Du die Zinsrate 1,01 mit Deiner Einlage von 1000 € zu 1010 €. Diese 1010 € werden am Ende des zweiten Jahres mit 1,5 Prozent verzinst; multiplizierst Du die 1010 € mit der Zinsrate von 1,015, so erhältst Du als Wert der Einlage am Ende des zweiten Jahres 1025,05 €. Dieser Betrag wird am Ende des dritten Jahres mit dem Faktor 1,017 multipliziert und Du erhältst den stolzen Endbetrag von 1042,78 €.

Ausgehend von den ursprünglichen 1000 € kommst Du also auf den Wert der Einlage am Ende der Laufzeit, indem Du für jedes Jahr mit dem Faktor (1 + x \%) als der jährlichen Zinsrate multiplizierst:

    \begin{equation*} 1042,78 \eur = 1000 \eur \cdot (1 + 1 \%) \cdot (1 + 1,5 \%) \cdot (1 + 1,7 \%) \end{equation*}

Berechnung des geometrischen Mittels

Da die drei Zinsraten miteinander multipliziert werden, ermittelst Du ihren mittleren Wert, indem Du die dritte Wurzel aus ihrem Produkt ziehst:

    \begin{equation*} ^\sqrt[3] {(1 + 1 \%) \cdot (1 + 1,5 \%) \cdot (1 + 1,7 \%)} = \sqrt[3] {1,0426} = 1,014 \end{equation*}

Die mittlere Zinsrate, die Du bei dem obigen Angebot erhältst, beträgt also 1,014, das entspricht einem mittleren Zinssatz von 1,4 \% pro Jahr.

Allgemein wirken Wachstumsraten multiplikativ, sodass sich die Gesamtwachstumsrate durch Multiplikation der n beobachteten Wachstumsraten x_i ergibt. Die mittlere Wachstumsrate erhältst Du dann als n-te Wurzel aus der Gesamtwachstumsrate. Diese bezeichnet man als geometrisches Mittel \bar x_{geom}:

    \begin{equation*} \bar x_{geom}= \sqrt[n] {\prod _ {i=1}^n x_i} \end{equation*}

„Von Hand“ lassen sich diese Berechnungen leichter durchführen, wenn Du mit logarithmierten Werten arbeitest.

Das geometrische Mitte ist vom arithmetischen Mittel und vom harmonischen Mittel abzugrenzen.