Satz von Bayes / Bayessche Statistik

Satz von Bayes / Bayessche Statistik

  • 5. Februar 2018
  • Posted by: Mika
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Der Satz von Bayes beschreibt den Zusammenhang zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A). Mit seiner Hilfe kannst Du bedingte Wahrscheinlichkeiten ermitteln, die man nicht direkt beobachten kann.

Ein Unternehmen setzt ein standardisiertes Bewerbungsverfahren ein, um seine Mitarbeiter einzustellen, und glaubt, dass das Verfahren im Großen und Ganzen nicht schlecht funktioniert. Der Personalabteilung sind verschiedene Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten bekannt:

A: „Der Bewerber ist geeignet.“ P(A) = 30\%
A^c: „Der Bewerber ist nicht geeignet.“ P(A^c) = (1-P(A)) = 70\%
B: „Der Bewerber wird eingestellt“ P(B) = 15\%
B^c: „Der Bewerber wird nicht eingestellt.“ P(B^c) = (1-P(B)) = 85\%
(A \cap B): „Der eingestellte Bewerber ist geeignet“ P(A \cap B) = 70\%
(A^c \cap B): „Der eingestellte Bewerber ist nicht geeignet“ P(A^c \cap B) = 30\%

Satz von Bayes zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Jetzt wüsste man gern, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein de facto geeigneten Bewerber tatsächlich eingestellt wird, gesucht ist also P(B|A). Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht direkt beobachtbar, kann aber mittels des Satzes von Bayes berechnet werden.

    \begin{equation*}P(B | A)=\frac{P(A | B)\cdot P(B)}{P(A | B)\cdot P(B)+P(A | B^c)\cdot P(B^c)}=\frac{P(A | B)\cdot P(B)}{P(A)} \end{equation*}

Du gehst im Zähler von der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit aus und formst die Gleichung um:

    \begin{equation*} P(A | B) = \frac {P(A \cap B)} {P(B)}, \quad also \quad P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B)\end{equation*}

Im Nenner nutzt Du aus, dass man einen Ereignisraum durch ein Ereignis und sein Gegenereignis vollständig zerlegen kann. Das Ereignis A lässt sich daher vollständig durch die Ereignisse (A\cap B) und (A \cap B^c) beschreiben.
Setzt Du die bekannten Wahrscheinlichkeiten Deines Beispiels ein, erhältst Du:

    \begin{equation*} P(B | A) = \frac {P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} = \frac {0,7 \cdot 0,15}{0,3} = 0,35 = 35\% \end{equation*}

Das eingesetzte Verfahren erkennt also von den geeigneten Bewerbern nur 35\%! Das Unternehmen sollte dringend an seiner Verbesserung arbeiten.