Multiple Korrelationsanalyse

Multiple Korrelationsanalyse

  • 26. Januar 2017
  • Posted by: Mika
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Hast Du in Deiner Stichprobe die Werte von mehr als zwei metrischen Zufallsvariablen erhoben und vermutest einen linearen Zusammenhang zwischen einer Variablen Y und mehreren Variablen X_1 bis X_m, so ist die multiple Korrelationsanalyse die passende Methode. Wie bei der einfachen Korrelationsanalyse setzt Du Normalverteilung der Grundgesamtheiten voraus.

Definition des multiplen Korrelationskoeffizienten

Der multiple Korrelationskoeffizient ist definiert als Wurzel aus dem multiplen Bestimmtheitsmaß, das den Anteil der durch die Variablen erklärte Varianz an der Gesamtvarianz ergibt. Er kann zudem nur positive Werte zwischen Null und eins annehmen.

Du kannst den Wert des multiplen Bestimmtheitsmaßes als Funktion der einfachen Korrelationskoeffizienten von allen beteiligten Variablen ermitteln. Das heißt Du gehst von der Summe der quadrierten Korrelationskoeffizienten \rho_{yi} zwischen Y und allen X_i aus. Dann subtrahierst Du davon die wechselseitigen Beeinflussungen \rho_{ij} zwischen allen Paaren von X_i und X_j. Anschließend normierst Du den Ausdruck durch den nicht durch Wechselwirkung erklärten Zusammenhang.

Im Falle von drei zusammenhängenden Variablen Y, X_1 und X_2 hast Du den multiplen Koeffizienten gegeben als:

    \begin{equation*} \rho_{Y,X_1,X_2}=\sqrt {\frac { \rho_{Y1}^2 +\rho_{Y2}^2 -2\cdot \rho_{12}\cdot \rho_{Y1}\cdot \rho_{Y2} }{ 1 - \rho^2_{12} } \end{equation*}

Für dessen Schätzwert r_{y,x_1,x_2} setzt Du die Schätzwerte r_{\cdot \cdot} der einfachen Korrelationskoeffizienten ein.

Beispiel für eine multiple Korrelationsanalyse

Stell Dir vor, Du sollst ein ökonomisches Modell testen, nach dem die monatlichen Haushaltsausgaben Y zum einen mit dem verfügbarem Einkommen X_1 und zum anderen mit dem Vermögen X_2 zusammenhängen. Dazu hast Du folgendes Datenmaterial erhoben:

Haushaltsnummer
in € 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ausgaben Y 650 1.200 4.500 1.800 3.300 4.800 6.200 3.200 5.000 3.300
verfügbares
 Einkommen X_1 1.800 1.600 5.500 1.600 2.700 7.200 7.200 2.800 8.000 3.300
Vermögen X_2 0 2.000 85 0 12.000 50.000 0 18.000 70.000 10.000

Daraus errechnest Du als erstes die einfachen Korrelationskoeffizienten der Stichprobe zwischen allen Kombinationen von je zwei Variablen:

  • Die Korrelation zwischen Ausgaben und verfügbarem Einkommen beträgt r_{y1}= 0,908,
  • Korrelation zwischen Ausgaben und Vermögen : r_{y2}= 0,442
  • Korrelation zwischen verfügbarem Einkommen und Vermögen: r_{12}= 0,650

Setzt Du diese Werte in die Formel für den Schätzwert des multiplen Regressionskoeffizienten ein,

    \begin{equation*} r_{y,x_1,x_2} &= \sqrt {\frac { r_{y1}^2 +r_{y2}^2 -2\cdot r_{12} \cdot r_{y1} \cdot r_{y2} }{ 1 - r^2_{12} }} \end{equation*}

so erhältst Du

    \begin{equation*} r_{y,x_1,x_2} &= \sqrt {\frac { 0,908^2 +0,442^2 -2 \cdot 0,650 \cdot 0,908 \cdot 0,442 }{ 1 - 0,650^2 }} = 0,929\end{equation*}

Der multiple Korrelationskoeffizient zwischen Ausgaben, Einkommen und Vermögen in Deiner Stichprobe beträgt also 0,929 und spricht für einen hohen Zusammenhang zwischen den drei Variablen.

Ist der Zusammenhang statistisch signifikant?

Es bleibt Dir aber noch zu prüfen, ob dieser Zusammenhang statistisch signifikant ist, ob Du also das Ergebnis der Stichprobe verallgemeinern kannst.

Dazu stellst Du als Deine Hypothesen auf:

H_0: es besteht kein multipler Zusammenhang zwischen Y, X_1 und X_2.

H_1: es besteht ein multipler Zusammenhang zwischen Y, X_1 und X_2.

Als Testgröße berechnest Du dann den Quotienten

    \begin{equation*} F = \frac {r_{y,x_1,x_2} ^2 \cdot (n-k)} {(k-1) \cdot (1-r_{y,x_1,x_2} ^2)}} = \frac { 0,929^2 \cdot (10-3)} {2 \cdot (1-0,929^2)}} = 22,022\end{equation*}

Dabei stehlt n für die Anzahl der Beobachtungen und k für die Anzahl der Variablen X_i. Die Testgröße ist F-verteilt, mit (k;n-k-1) Freiheitsgraden.

Für Deine Untersuchung gilt: Mit

    \begin{equation*} F_{pr}= 22,022 > 19,3532 = F_{kr} = F_{(0,95;2;7)}\end{equation*}

verwirfst Du die Nullhypothese und schließt, dass ein signifikanter multipler Zusammenhang besteht.

Falls Du die Nullhypothese aufgrund der Stichprobenergebnisse nicht verwirfst, bedeutet das nicht, dass kein Zusammenhang zwischen beteiligten Variablen besteht. Es heißt vielmehr, dass nicht alle betrachteten Variablen miteinander zusammenhängen. Du solltest dann Deine Analyse für eine andere Variablengruppierung wiederholen.

Der multiple Korrelationskoeffizient ist also umso interessanter, je weniger die X_i untereinander korrelieren, gleichzeitig jedoch einzeln mit Y möglichst stark zusammenhängen.