Welch-Test

Welch-Test

  • 26. April 2018
  • Posted by: Mika
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Stell Dir vor, Du hast zu den normalverteilten Zufallsvariablen X_i, i=1,…n, und Y_j, j=1,…m zwei unabhängige Stichproben erhoben und möchtest einseitige oder zweiseitige Hypothesentests bezüglich der Mittelwerte \mu_X und \mu_Y durchführen:

H_0: \quad \mu_X=\mu_Y H_1: \quad \mu_X \ne \mu_Y

oder

H_0: \quad \mu_X \le \mu_Y H_1: \quad \mu_X > \mu_Y.

Dann bestimmt Deine Kenntnis über die Grundgesamtheitsvarianzen den einzusetzenden Test:

  • Bei bekannter Varianz der Grundgesamtheiten kannst Du den Gauss-Test einsetzen.
  • Sind die Varianzen nicht bekannt, können aber als gleich angenommen werden, so ist der t-Test dein geeignetes Instrument.
  • Den Fall, dass sich die unbekannten Varianzen der Grundgesamtheit unterscheiden, bezeichnet man als Behrens-Fisher-Problem. Hierfür kannst Du den Welch-Test anwenden.

Du kannst den Welch-Test als modifizierten t-Test beschreiben, bei dem die Varianz der Stichproben-Mittelwertdifferenz aus den Stichprobenvarianzen ermittelt wird:

    \begin{equation*} s_D^2 = \frac {s_X^2}{n} + \frac {s_Y^2}{m} \end{equation*}

Stell Dir vor, Du möchtest die Wuchshöhe in Zentimetern zweier Heckenpflanzen X und Y miteinander vergleichen und erhebst dazu zwei Stichproben:

X: Thuja Y: Kirschlorbeer
n \bar x s_X^2 m \bar y s_Y^2
8 152 100 12 158 225

Für die Differenz der Mittelwerte schätzest Du daraus die Varianz als

    \begin{equation*} s_D^2 = \frac {100}{8} + \frac {225}{12} = 31,25 \quad und \quad s_D=5,59 \end{equation*}

Deine Prüfgröße lautet:

    \begin{equation*} T_{pr} = \frac {\bar x - \bar y}{s_D} = \frac {152 - 158}{5,59}= -1,0733 \end{equation*}

Deine Prüfgröße folgt unter der Nullhypothese approximativ einer t_{\nu}-Verteilung mit

    \begin{equation*} \nu: ganzzahliger \nobreakspace Anteil \nobreakspace von \quad \frac {\left(\frac {s_X^2}{n} + \frac {s_Y^2}{m} \right)^2} {\frac 1 {n-1}\cdot \left( \frac {s_X^2} n\right)^2 + \frac 1 {m-1}\cdot \left( \frac {s_Y^2} m\right)^2 } \end{equation*}

Freiheitsgraden. Hier erhältst Du \nu=17. Im Fall des einseitigen Tests

H_0: \quad \mu_X - \mu_Y \ge 0 gegen H_1: \quad \mu_X - \mu_Y < 0

wird H_0 verworfen, wenn T_{pr} < t_{(\alpha)}(\nu).

Mit t_{0,05}(17) = -1,7396 < -1,7033 = T_{pr} kannst Du die Nullhypothese nicht verwerfen.

Testest Du zweiseitig, etwa

H_0: \quad \mu_X - \mu_Y = 0 gegen H_1: \quad \mu_X - \mu_Y \ne 0,

so verwirfst Du Deine Nullhypothese, wenn T_{pr} < t_{\alpha/2}(\nu) oder T_{pr} > t_{\1-\alpha/2}(\nu).

Mit

    \begin{equation*} t_{\alpha/2}(\nu)=- 2,1098 < -1,0733 = T_{pr} < 2,1098=t_{1-\alpha/2}(\nu) \end{equation*}

wird die zweiseitige Nullhypothese nicht verworfen.