Mehrdimensionale Normalverteilung

Mehrdimensionale Normalverteilung

  • 25. April 2018
  • Posted by: Mika
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Die eindimensionale Normalverteilung hast Du durch die Dichtefunktion

    \begin{equation*} f(x;\mu, \sigma^2) = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac 1 2 (\frac {x-\mu}{\sigma})^2} \end{equation*}

mit den beiden Parametern \mu und \sigma^2 gegeben.

Betrachtest Du eine mehrdimensionale normalverteilte Zufallsvariable X=(X_1,..,X_n), so musst Du als Parameter der gemeinsamen Verteilung neben dem Mittelwertvektor \mu = (\mu_1,..,\mu_n) und den Varianzen \sigma^2_i auch die Kovarianzen \sigma_{ij} als Maß für die Abhängigkeit zwischen je zwei Variablen berücksichtigen.

Ist \Sigma Deine Kovarianzmatrix und \mu Dein n-dimensionaler Mittelwertvektor

    \begin{equation*} \Sigma = \left( \begin {array}{cccc} \sigma^2_1 &\sigma_{12} &...& \sigma_{1n} \\ \sigma_{21}& \sigma^2_2 &...&\sigma_{2n}\\..&..&..&.. \\\sigma_{n1}&\sigma_{n2}&...&\sigma^2_n \end{array}\right) \quad und \quad \mu=\left( \begin {array}{c} \mu_1\\\mu_2\\..\\\mu_n \end{array}\right) \end{equation*}

,

und ist x^T=(x_1,..,x_n), so lautet die mehrdimensionale Normalverteilung:

    \begin{equation*} f(x;\mu, \Sigma^2) = \frac 1 {\sqrt{det (\Sigma) \cdot {2\pi}^n}} \cdot e^{-\frac 1 2 \cdot (x-\mu)^T\cdot \Sigma^{-1}\cdot(x-\mu)} \end{equation*}

Die erste Grafik zeigt die Dichtefunktionen einer bivariaten standardisierten Normalverteilungen von zwei unabhängigen Einzelvariablen, bei denen die Kovarianz zwischen X_1 und X_2 also Null beträgt:

Dichte unabhängiger Zufallsvariablen

Die Dichte der Funktion nimmt den höchsten Wert an der Stelle \mu=(\mu_1;\mu_2)=(0;0) ein; von da aus nimmt sie in alle Richtungen gleichmäßig ab.

Untersuchst Du etwa die zweidimensionale Zufallsvariable X=(Körpergröße; Gewicht) von Männern, so vermutest Du zwischen beiden Variablen keine Abhängigkeit und die gemeinsame Dichtefunktion sollte aussehen wie die der ersten Grafik.

Die zweite Grafik zeigt die Dichtefunktion von zwei positiv abhängigen Zufallsvariablen mit einer Kovarianz von \sigma_{12}=\sigma_{21}=0,8. Die Varianz-Kovarianz-Matrix lautet demnach

    \begin{equation*} \Sigma=\left( \begin {array}{cc} 1 & 0,8 \\ 0,8& 1 \end{array} \right) \end{equation*}

Du kannst in der zweiten Grafik die Abhängigkeit der Zufallsvariablen deutlich am Übergang von der „runden“ zur „ovalen“ Dichtefunktion erkennen: große Abweichungen der Zufallsvariablen X_1 von Ihrem Mittelwert sind häufiger mit ebenfalls größeren gleichgerichteten Abweichungen von X_2 von dem Mittelwert \mu_2 verbunden.

Dichte abhängiger Zufallsvariablen

Betrachtest Du beispielsweise die zweidimensionale Zufallsvariable Y=(Körpergröße; Gewicht), so sind extrem große Menschen meistens auch deutlich schwerer als der Durchschnitt und umgekehrt.

Die mehrdimensionale Normalverteilung ist die Grundlage vieler statistischer Modelle.